Es la altura de todos los árboles binarios con profundidad promedio de O(logn) para todos los nodos, también O(logn)?

Si la altura de todos los árboles binarios con profundidad promedio de O(logn), es también O(logn) es cierto, tengo que probarlo. Si no es correcto me piden encontrar un grupo de árboles que tienen una profundidad promedio de O(logn), pero su altura no es O(logn). Desde S se calcula asymptoticaly el grupo de árboles debe ser general y no específico (por expample no árboles con 10 nodos).